Publicación:

Existencia de Subálgebras de Cartan en Algebras de Lie Solubles

Resumen en español

“Un álgebra de Lie es una estructura algebraica definida sobre un espacio vectorial, además, el término “álgebra de Lie” (referido por Sophus), fue designado por Herman Weyl en 1934; previamente, en sus trabajos de 1925, Weyl había utilizado la expresión “grupo infinitesimal”. Hablar de dichas álgebras es difícil, por ello, es conveniente hablar de las aplicación de los trabajos de Sophus, como: la teoría de grupos y álgebras de Lie las cuales son destacadas por ser una herramienta primordial en la solución de problemas de 1Fuentes, Luis y López, Víctor. Introducción a las álgebras de Líe, Geometría, Ecuaciones Diferenciales, y la conexión de los problemas físicos con la matemática abstracta teniendo aplicaciones en teorías modernas como la teoría de súper-cuerdas. Esto y que matemáticos como el francés Jean Dieudonné se refieran a la teoría de Lie como un gran eje gigante en los avances científicos, o que Albert Einstein las usará en sus cálculos para la Teoría General de la Relatividad hace pensar en lo importante de su estudio. Un aspecto importante de la teoría, es que Cartan tuvo la oportunidad de conocer a Lie, y decidió continuar con el trabajo de Sophus, por tanto, Killing-Cartan establecieron el concepto de las subálgebras de Cartan las cuales sirven para clasificar las álgebras de Lie, pero dicha clasificación la hicieron sin pensar si existían o no existían las subálgebras de Cartan y luego de esa clasificación pensaron ¿existen esas subálgebras?; por ello, realizamos una revisión bibliográfica y se encontró, que en cientos de publicaciones, algunos autores han dado por hecho que las subálgebras de Cartan existen en las álgebras de Lie y de esa forma, continúan con su análisis de investigación, y por el contrario, en otras publicaciones otros autores dan por hecho que las subálgebras de Cartan no existen en las álgebras de Lie y continúan con su respectivo análisis de investigación, y por lo general en ninguno de los dos casos las demuestran, es decir; dan por hecho que existen o no existen y continúan con su trabajo. En los cursos ofertados en el plan de estudios de Licenciatura en Matemáticas y Física de la Universidad de los Llanos, se estudia la estructura de un álgebra y el álgebra lineal, dejando de lado el estudio de otras álgebras como lo son las álgebras de Lie, la cuál es un tema novedoso e interesante para cualquier estudiante de la carrera. De todo lo mencionado; es por ello que, en este trabajo estudiamos las extensiones de los argumentos clásicos para establecer la existencia de las subálgebras de Cartan en álgebras de Lie solubles de dimensión finita.